Question

【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，、為左、右焦點(diǎn)，焦距是實(shí)軸長的倍，雙曲線過點(diǎn).

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)在雙曲線上，求證：點(diǎn)在以為直徑的圓上；

（3）在（2）的條件下，若直線交雙曲線于另一點(diǎn)，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)可得，；將代入雙曲線方程可求得，進(jìn)而得到所求標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）根據(jù)在雙曲線上可得，利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算可得，證得，從而證得結(jié)論；

（3）當(dāng)時(shí)，得到直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而可求得三角形面積；根據(jù)雙曲線對稱性可知時(shí)結(jié)論相同.

（1）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

雙曲線焦距為，實(shí)軸長為，則，即

雙曲線方程為

代入得： 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1）知：，

在雙曲線上 ，即

，

在以為直徑的圓上

（3）由（2）知：或

當(dāng)時(shí)，直線方程為：

即：

代入雙曲線方程整理可得：

的縱坐標(biāo)為 的縱坐標(biāo)為

的面積為

由雙曲線對稱性可知，當(dāng)時(shí)，面積與時(shí)一致

的面積