Question

15．已知橢圓C的兩個焦點是$（0\;，\;-\sqrt{3}）$和$（0\;，\;\sqrt{3}）$，并且經(jīng)過點$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;，\;1）$，拋物線E的頂點在坐標原點，焦點恰好是橢圓C的右頂點F．
（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標準方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l₁、l₂，l₁交拋物線E于點A、B，l₂交拋物線E于點G、H，求|AF|•|FB|+|FG|•|HF|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2c=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$，將$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;，\;1）$代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-3}=1$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程和拋物線E的標準方程；
（Ⅱ）由題意求得直線l₁、l₂的方程，將直線l₁、l₂代入代入拋物線方程，利用韋達定理，表示出|AF|•|FB|+|FG|•|HF|=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|，由基本不等式性質可知$\frac{4}{k^2}=4{k^2}$，即k=±1時，|AF|•|FB|+|FG|•|HF|的最小值為16．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓C的標準方程為$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，焦距為2c，
則由題意得$c=\sqrt{3}\;，\;{a^2}=4$，
∴橢圓方程為$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$，拋物線方程為y²=4x．…4分
（Ⅱ）設l₁的方程為：y=k（x-1），l₂的方程為：$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），H（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴$△=4{k^4}+16{k^2}+16-4{k^4}＞0\;，\;{x_1}+{x_2}=2+\frac{4}{k^2}\;，\;{x_1}{x_2}=1$，
同理${x_3}+{x_4}=4{k^2}+2\;，\;{x_3}{x_4}=1$．…6分
∴|AF|•|FB|+|FG|•|HF|=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|，…8分
=$（{x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}+1）+（{x_3}{x_4}+{x_3}+{x_4}+1）=8+\frac{4}{k^2}+4{k^2}$，
$≥8+2\sqrt{\frac{4}{k^2}•4{k^2}}=16$，
當且僅當$\frac{4}{k^2}=4{k^2}$，
即k=±1時，|AF|•|FB|+|FG|•|HF|的最小值為16．…12分．

點評 本題考查橢圓及拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及基本不等式的綜合運用，屬于中檔題．