Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= cos2x﹣2cos2（x+ ）+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0， ]上的最值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）= cos2x﹣2cos2（x+ ）+1

= cos2x﹣cos（2x+ ）

= cos2x+sin2x

=2sin（2x+ ）；

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

解得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）；

（Ⅱ）當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，2x+ ∈[ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴f（x）在區(qū)間[0， ]上的最大值為2，最小值為﹣ ；

且x= 時(shí)f（x）取得最大值2，x= 時(shí)f（x）取得最小值﹣

【解析】（Ⅰ）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求出x∈[0， ]時(shí)，sin（2x+ ）的取值范圍，

即可求出f（x）的最大、最小值．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)，以及對三角函數(shù)的最值的理解，了解函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．