Question

7．若正數(shù)m，n滿足m+3n=5mn，則3m+4n的最小值為（　�。�

• A． $\frac{24}{5}$
• B． $\frac{28}{5}$
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 原式可化為$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$=1，可得3m+4n=（3m+4n）（$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$）=$\frac{3m}{5n}$+$\frac{9}{5}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{12n}{5m}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵正數(shù)m，n滿足m+3n=5mn，
∴$\frac{m+3n}{5mn}$=1，即$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$=1，
∴3m+4n=（3m+4n）（$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$）
=$\frac{3m}{5n}$+$\frac{9}{5}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{12n}{5m}$≥$\frac{13}{5}$+2$\sqrt{\frac{3m}{5n}•\frac{12n}{5m}}$=5，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3m}{5n}$=$\frac{12n}{5m}$即m=1且n=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，“1”的代換是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．