Question

【題目】如圖，在直棱柱中，，，，，.

（1）求異面直線與所成的角的余弦值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以為坐標原點建立空間直角坐標系，設出長度，根據，求得長度，

再求出的方向向量，以及向量夾角的余弦值，即可容易求得；

（2）根據（1）中所求點的坐標，求得直線的方向向量，以及平面的法向量，即可用向量法求得線面夾角.

（1）易知，，兩兩垂直，建立如下所示空間直角坐標系.

設，則各點的坐標為：

，，，，，，.

從而，.

因為，所以.

解得：或（舍去）

∴，而

異面直線與所成角的余弦值為.

（2）由（1）可知，，，.

設是平面的一個法向量，

則：即令，則.

設直線與平面所成角為，

則：

直線與平面所成角的正弦值為.