Question

20．在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三條邊長求三角形面積，若三角形的三邊長為a，b，c，其面積$S=\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$，這里$p=\frac{1}{2}（a+b+c）$．已知在△ABC中，BC=6，AB=2AC，則△ABC面積的最大值為12．

Answer 1

分析 設(shè)b=x，則c=2x，根據(jù)海倫面積公式得S_△ABC=$\sqrt{144-\frac{9}{16}（{x}^{2}-20）^{2}}$，由三角形三邊關(guān)系求得2＜x＜6，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：∵a=6，設(shè)b=x，則c=2x，可得：$p=\frac{1}{2}（a+b+c）$=3+$\frac{3x}{2}$，
∴$S=\sqrt{p（p-a）（p-b）（p-c）}$
=$\sqrt{（3+\frac{3x}{2}）（\frac{3x}{2}-3）（3+\frac{1}{2}x）（3-\frac{1}{2}x）}$
=$\sqrt{-\frac{9{x}^{4}}{16}+\frac{45{x}^{2}}{2}-81}$
=$\sqrt{144-\frac{9}{16}（{x}^{2}-20）^{2}}$
由三角形三邊關(guān)系有：x+2x＞6且x+6＞2x，解得：2＜x＜6，
故當(dāng) x=2$\sqrt{5}$時，S_△ABC取得最大值12．
故答案為：12．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和海倫面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．