Question

10．已知f（x）=e^x-ae^-x+（a+1）x+a-1，若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞$\frac{{e}^{x}+x-1}{{e}^{-x}-x-1}$，設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}+x-1}{{e}^{-x}-x-1}$，利用極限的思想求出函數(shù)h（x）的最大值，問(wèn)題得以解決．

解答 解：∵f（x）=e^x-ae^-x+（a+1）x+a-1，對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴e^x+x-1＞a（e^-x-x-1），
∵g（x）=e^-x-x-1在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴g（x）_max＜g（0）=0，
∴g（x）＜0，
∴a＞$\frac{{e}^{x}+x-1}{{e}^{-x}-x-1}$
設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}+x-1}{{e}^{-x}-x-1}$，
∴$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{{e}^{x}+x-1}{{e}^{-x}-x-1}$=$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{{e}^{x}}{-{e}^{-x}}$=-1，
∴a≥-1，
故a的取值范圍為[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)的取值范圍以及函數(shù)恒成立的問(wèn)題和極限的思想，屬于中檔題．