Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，曲線C的方程ρ=4cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)系方程；
（2）若點(diǎn)P（3，1），設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²+2（cosα-sinα）t-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義即可得出．

解答 解：（1）曲線C的方程ρ=4cosθ，化為直角坐標(biāo)方程：（x-2）²+y²=4；
（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得t²+2（cosα-sinα）t-2=0，
可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩根，
所以t₁+t₂=-2（cosα-sinα），t₁t₂=-2
又直線過(guò)點(diǎn)（3，1），故結(jié)合t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{12+4sin2α}≥2\sqrt{2}$，
所以PA|+|PB|的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．