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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Q到兩點(diǎn)M(0，-
3
)，N(0，
3
)的距離之和等于4，記點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)C．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）以MN為直徑的圓與曲線(xiàn)C有幾個(gè)公共點(diǎn)？要說(shuō)明理由；
（Ⅲ）P是曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，則使△PMN是直角三角形的點(diǎn)P有幾個(gè)？（直接作答，不寫(xiě)過(guò)程）
（Ⅰ）設(shè)Q（x，y），QM+QN=4＞MN．
由橢圓定義可知，點(diǎn)Q的軌跡C是以M(0，-
3
)，N(0，
3
)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．
它的短半軸b=
22-(
3
)2
=1，故曲線(xiàn)C的方程為x2+
y2
4
=1．
（Ⅱ）以MN為直徑的圓的方程是x2+y2=3，
聯(lián)立方程
x2+y2=3
x2+
y2
4
=1
，解得
x=
3
3
y=
2
6
3
，或
x=-
3
3
y=-
2
6
3
，或
x=
3
3
y=-
2
6
3
，或
x=-
3
3
y=
2
6
3
，
所以，曲線(xiàn)C與圓x2+y2=3的公共點(diǎn)有(
3
3
，
2
6
3
)，(-
3
3
，-
2
6
3
)，(-
3
3
，-
2
6
3
)和(-
3
3
，-
2
6
3
)，
故，以MN為直徑的圓與曲線(xiàn)C有4個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅲ）使△PMN是直角三角形的點(diǎn)P有8個(gè)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線(xiàn)y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿(mǎn)足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線(xiàn)QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線(xiàn)l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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