Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1，且對于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1與a₁的等差中項．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求證數(shù)列{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列；
（3）求{

an

3n

}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由對于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1與a₁的等差中項，可得an+1+a1=2(Sn+2n)，分別令n=1，2即可得出a₂，a₃；
（2）由an+1+a1=2(Sn+2n)，可得an+a1=2(Sn-1+2n-1)，（n≥2）．
兩式相減得an+1=3an+2n，可化為an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a2+22=3×(1+21)，可得數(shù)列{a_n+2ⁿ}是以a1+21=3為首項，3公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）可知：an+2n=3×3n-1，得an=3n-2n．
可得

an

3n

=

3n-2n

3n

=1-(

2

3

)n，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）∵對于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1與a₁的等差中項，
∴an+1+a1=2(Sn+2n)，
當n=1時，可得a2+a1=2(a1+21)，又a₁=1，解得a₂=5，
當n=2時，可得a3+a1=2(a1+a2+22)，解得a₃=19．
（2）由an+1+a1=2(Sn+2n)，可得an+a1=2(Sn-1+2n-1)，（n≥2）．
兩式相減得an+1=3an+2n，
∴an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a2+22=3×(1+21)，
∴數(shù)列{a_n+2ⁿ}是以a1+21=3為首項，3公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）可知：an+2n=3×3n-1，得an=3n-2n．
∴

an

3n

=

3n-2n

3n

=1-(

2

3

)n，
∴{

an

3n

}的前n項和=(1+1+…+1)-(

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n)=n-2(1-(

2

3

)n)=n-2+2•(

2

3

)n．

點評：熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前n項和公式、以及可化為等比數(shù)列的數(shù)列的解法等是解題的關鍵．