Question

【題目】已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，的前n項(xiàng)和為.若對(duì)任意的恒成立.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足問(wèn)：是否存在正整數(shù)，使得，若存在求出的值，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若存在各項(xiàng)均為正整數(shù)公差為的無(wú)窮等差數(shù)列，滿足，且存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，求的所有可能的值.

Answer 1

【答案】（1），.（2）存在，的值為5和 .（3）或.

【解析】

（1）由題意可知，從而有，做差得到，代入基本量計(jì)算可求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式. （2）討論為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，分別代入求解計(jì)算. （3）設(shè)的公差為，則且，若，則肯定成立，只需討論時(shí)的情況即可.

（1）當(dāng)時(shí)，，由，得；

由得①，當(dāng)時(shí)有： ②，

由②-①得.

分別令可得：，.設(shè)的公差為，的公比為，

則 解得或

經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，不合題意，舍去.

故，.

（2）

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，由，可得，即，

所以，解得，

考慮到在正整數(shù)集上分別單調(diào)遞增和遞減，

故不存在其他解，即是惟一解.

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，由可得：，

即，是偶數(shù)符合條件.

綜上的值為5和.

（3）由（1），設(shè)的公差為，則且，

當(dāng)時(shí)，顯然成立；

當(dāng)時(shí)，

所以，，

由，得，

即，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

即，

所以

故，

由，得，

從而要使，只要，

又，

綜上，.