Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F₁PF₂的重心為G，內心I，且有

IG

=λ

F1F2

（其中λ為實數）
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）過焦點F₂的直線l與橢圓C相交于點M、N，若△F₁MN面積的最大值為3，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意設出重心G的坐標，由向量關系求出點I的坐標，由面積的兩種表示求出a與c的關系式，進而得到橢圓的斜率．
（2）設出橢圓與直線的方程并且聯立方程得到關于y的一元二次方程，以F₁F₂為底邊寫出三角形的面積表達式，利用函數求最值的方法求出面積的最大值，并且求出此時m的數值，即得到橢圓的方程．

解答：解：（1）設P（x₀，y₀），c=

a2-b2

，則有：G(

x0

3

，

y0

3

)，I的縱坐標為

y0

3

，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F1F2|•|y0|=

1

2

(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)|

y0

3

|
?2c•3=2a+2c?a=2c?e=

c

a

=

1

2

（2）由（1）可設橢圓C的方程為：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1(c＞0)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線MN的方程為：x=my+c，代入

x2

4c2

+

y2

3c2

=1
可得：3（my+c）²+4y²=12c²?（4+3m²）y²+6mcy-9c²=0
∴y1+y2=-

6mc

4+3m2

，y1y2=-

9c2

4+3m2

∴S△F1MN=

1

2

•|F1F2|•|y1-y2|=c

(- 6mc 4+3m2 )2-4(- 9c2 4+3m2 )

=12c2

m2+1 (4+3m2)2

令m²+1=t，則有t≥1且m²=t-1，
∴

m2+1

(4+3m2)2

=g(t)=

t

[4+3(t-1)]2

=

t

9t2+6t+1

=

1

9t+ 1 t +6

，
易證g（t）在[1，+∞）單調遞減，
∴g（t）_max=g（1）=

1

16

，
∴S△F1MN的最大值為12c2•

1

4

=3?c2=1?

x2

4

+

y2

3

=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的有關數值的關系以及結合橢圓的形狀和幾何意義兩行表達三角形的面積，最終利用函數的形狀解決問題．