Question

5．已知關于x的方程2^x+3^x+6^x=7^x，則該方程的解為x=2．

Answer 1

分析 由2^x+3^x+6^x=7^x，可得（$\frac{1}{3}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^x+1=（$\frac{7}{6}$）^x，利用y=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x+1是減函數，y=（$\frac{7}{6}$）^x是增函數，知最多只有一解．驗證x=2符合即可．

解答 解：∵2^x+3^x+6^x=7^x，
∴（$\frac{1}{3}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^x+1=（$\frac{7}{6}$）x，
∵y=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x+1是減函數，y=（$\frac{7}{6}$）^x是增函數，
∴最多只有一解．
當x≥3時，
∵左≤1+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{4}$=1+$\frac{13}{36}$，
右=（1+$\frac{1}{6}$）^x≥1+$\frac{1}{2}$，
∴x≥3無解．
當x=1時，2^x+3^x+6^x=11，7^x=7，不成立；
當x=2時，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，成立．
故x=2，
故答案為：2．

點評 本題考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．