Question

【題目】已知函數(shù)（，為常數(shù)）在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）推導(dǎo)出x＞0，f′（x）＝，設(shè)h（x）＝ex﹣1﹣ax，x＞0，則y＝h（x）在（0，2）上存在兩個(gè)零點(diǎn)，由h′（x）＝ex﹣1﹣a，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）令H（x）＝h（x）﹣h（2+2lna﹣x），0＜x＜1+lna，則H′（x）＝h′（x）+h′（2+2lna﹣x）0，從而H（x）在（0，1+lna）上遞增，進(jìn)而H（x）＜H（1+lna）＝0，由此能證明＜2（1+lna）．

解：（1）由，可得，

記，有題意，知在上存在兩個(gè)零點(diǎn).

則

當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，至少有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，由，得

（i）若且，即時(shí)，在上遞減，遞增；

則，則，

從而在和上各有一個(gè)零點(diǎn)。

所以在上存在兩個(gè)零點(diǎn).

（ii）若，即時(shí)，在上遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，舍去.

（iii）若且，即時(shí)，此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)，而在上沒(méi)有零點(diǎn)，舍去.

綜上可得，.

（2）令則

，

，

，

所以，在上遞減，從而，

即

而，且在遞增；

，

.