Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）若，證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值；

（2）由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ， ，即可得到結(jié)論；

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)， 在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，函數(shù)，得，令，利用的取值，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)的極小值，即，進(jìn)而求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，

所以 .

令，得，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， 有最小值.

（2）由，得 ，

所以當(dāng)時(shí)， ，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)， 在上最多有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ， ，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)， 在上最多有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以.

由，得.

令，

因?yàn)?/span>， ，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為，

當(dāng)時(shí)， ， ；

當(dāng)時(shí)， ， ；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)的極小值，即.

因?yàn)?/span>，

所以

，

可得，

又因?yàn)?/span>在上是增函數(shù)，且，

所以， ，

由，得 ，

所以，即.

以下驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)， ， ，

所以.

因?yàn)?/span> ，且，

所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn).

又因?yàn)?/span> （因）.

且，所以在上有一個(gè)零點(diǎn).

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.