Question

8．已知數(shù)列{a_n}是各項均為正的等比數(shù)列，a₁=2，a₂+a₃=24；數(shù)列{b_n}是公差不為0的等差數(shù)列，b₁，b₂，b₅成等比數(shù)列，b₁+b₂+b₅=13．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n-b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），由a₂+a₃=24得：2q+2q²=24，
解得：q=3或q=-4（舍去），
∴${a_n}=2•{3^{n-1}}$，
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d（d≠0），由已知，$\left\{\begin{array}{l}{（{b_1}+d）^2}={b_1}（{b_1}+4d）\\ 3{b_1}+5d=13\end{array}\right.$，
解得：d=0（舍去）或d=2，這時b₁=1，
∴b_n=2n-1，
（2）：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，則${T_n}=\frac{{2（1-{3^n}）}}{1-3}={3^n}-1$，
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為L_n，則${L_n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n^2}$，
∴${S_n}={T_n}-{L_n}={3^n}-{n^2}-1$．
另解：S_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）=$\frac{{2（1-{3^n}）}}{1-3}-\frac{n（1+2n-1）}{2}={3^n}-{n^2}-1$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．