Question

2．已知雙曲線C₁：x²-y²=a²（a＞0）關(guān)于直線y=x-2對(duì)稱的曲線為C₂，若直線2x+3y=6與C₂相切，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 求出曲線C₂的方程，利用直線2x+3y=6與C₂相切，△=0，則實(shí)數(shù)a的值可求．

解答 解：設(shè)C₂上的點(diǎn)為（x，y），關(guān)于直線y=x-2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（y+2，x-2），
代入雙曲線C₁：x²-y²=a²，可得（y+2）²-（x-2）²=a²，
∵直線2x+3y=6與C₂相切，∴聯(lián)立化簡(jiǎn)可得5x²+12x-108+9a²=0，△=144-20（-108+9a²）=0，
∵a＞0，∴a=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的方程，考查直線與曲線位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題．