Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)存在兩個(gè)極值，求的取值范圍；并證明：函數(shù)存在唯一零點(diǎn).

（2）若存在實(shí)數(shù)，，使，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；證明見解析；(2)

【解析】

(1)求出的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，解出即得的范圍；令

，求出，得到至多有一個(gè)零點(diǎn)，再驗(yàn)證，即可證明；

(2)求出，以及，設(shè)，記，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，最值的應(yīng)用，即可求解.

由題意，

所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，則

，解得：，

所以的取值范圍為；

由題易知在處取得極大值，當(dāng)處取得極小值，且有

，故，

令，故，

令，解得，

由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值可知：

故，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，

又因，

所以函數(shù)存在唯一零點(diǎn)；

由題意知：，

即，

故，

設(shè)，記

則，

所以在定義域上單調(diào)遞減，所以，

即，

故的取值范圍.為.