Question

（理科）E、F是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的左、右焦點，l是橢圓的一條準(zhǔn)線，點P在l上，∠EPF的最大值是   （　�。�

A．60°

B．30°

C．90°

D．45°

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定E，F(xiàn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，從而假設(shè)點P的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的斜率，利用差角的正切公式，借助于基本不等式，即可求∠EPF的最大值．

解答：解：由題意，橢圓中a²=4，b²=2，∴c²=2
∵E、F是橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的左、右焦點，
∴E(-

2

，0)，F(xiàn)(

2

，0)，
不妨取l是橢圓的右準(zhǔn)線，則方程為：x=

a2

c

=

4

2

=2

2

點P在l上，不妨取P(2

2

，y)(y＞0)
設(shè)直線PE的傾斜角為β，直線PF的傾斜角為α，則∠EPF=α-β
∵tanα=

y

2

，tanβ=

y

3 2

∴tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

2 2 y

6+y2

=

2 2

6 y +y

∵y＞0
∴

6

y

+y≥2

6

∴tan(α-β)≤

2 2

2 6

=

3

3

∵正切函數(shù)在(0，

π

2

)上單調(diào)增，tan30°=

3

3

∴α-β的最大值為30°，
即∠EPF的最大值是30°
故答案為：30°

點評：本題以橢圓方程為載體，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線的斜率，考查基本不等式的運用，綜合性強．