Question

已知與拋物線x²=4y有相同的焦點的橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下頂點分別為A（0，2），B（0，-2），過（0，1）的直線與橢圓E交于M，N兩點，與拋物線交于C，D兩點，過C，D分別作拋物線的兩切線l₁，l₂．
（1）求橢圓E的方程并證明l₁⊥l₂．
（2）當k_MN=2時求△AMN面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線x²=4y，可得焦點（0，1）．c=1，由橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下頂點分別為A（0，2），B（0，-2），可得a=2，再利用b²=a²-c²．即可得出橢圓的方程．設直線l的方程為y=kx+1，與拋物線的方程聯(lián)立可得x²-4kx-4=0．設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．由x²=4y，利用導數(shù)的運算法則可得y′=

1

2

x，即可得出kl1•kl2．
（2）設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．直線MN的方程為：y=2x+1．與橢圓的方程聯(lián)立可得16x²+12x-9=0．再利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式|MN|=

(1+22)[(x3+x4)2-4x3x4]

、點到直線的距離公式、三角形的，面積計算公式即可得出．

解答： 解：（1）由拋物線x²=4y，可得焦點（0，1）．
∴c=1，
由橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上下頂點分別為A（0，2），B（0，-2），
可得a=2，∴b²=3．
∴橢圓E的方程為：

y2

4

+

x2

3

=1．
設直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．則x₁x₂=-4．
由x²=4y，可得y′=

1

2

x，
∴kl1•kl2=

1

2

x1•

1

2

x2=

1

4

x1x2=

1

4

×(-4)=-1．
∴l(xiāng)₁⊥l₂．
（2）設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．直線MN的方程為：y=2x+1．
聯(lián)立

y=2x+1 y2 4 + x2 3 =1

，化為16x²+12x-9=0．
∴x₃+x₄=-

3

4

，x₃x₄=-

9

16

．
∴|MN|=

(1+22)[(x3+x4)2-4x3x4]

=

5×[(- 3 4 )2-4×(- 9 16 )]

=

15

4

．
點A到直線l的距離d=

|0-2+1|

5

=

5

5

．
∴△AMN面積S=

1

2

|MN|•d=

1

2

×

15

4

×

5

5

=

3 5

8

．

點評：本題綜合考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、導數(shù)的幾何意義、切線的斜率、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．