Question

已知函數，（，）．

（1）判斷曲線在點（1，）處的切線與曲線的公共點個數；

（2）當時，若函數有兩個零點，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）當△>時，即或時，有兩個公共點；

當△=時，即或時，有一個公共點；

當△<時,即時，沒有公共點 .

（2）當時，函數有兩個零點.

【解析】

試題分析：（1）求導數得切線的斜率，由直線方程的點斜式，得到曲線在點（1，）處的切線方程為；

由，利用一元二次方程根的判別式討論得解.

（2）為討論=的零點，

令得到，

因此可令，利用導數知識，討論起最大值、最小值即得所求.

試題解析：（1），所以斜率 2分

又，曲線在點（1，）處的切線方程為 3分

由 4分

由△=可知：

當△>時，即或時，有兩個公共點；

當△=時，即或時，有一個公共點；

當△<時,即時，沒有公共點 7分

（2）=，

由得 8分

令，則

當，由得 10分

所以，在上單調遞減，在上單調遞增

因此， 11分

由，比較可知

所以，當時，函數有兩個零點. 14分

考點：導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、最值，直線與圓錐曲線的位置關系，轉化與劃歸思想.