Question

10．已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），且函數(shù)的對(duì)稱軸方程為$x=-\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求g（x）在區(qū)間[t，2]上的最小值H（t）；
（3）探究：函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，使它的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的對(duì)稱軸方程以及圖象過點(diǎn)（1，13），求出b、c的值，從而寫出f（x）的解析式；
（2）化函數(shù)g（x）為分段函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，求出g（x）在區(qū)間[t，2]上的最小值H（t）；
（3）設(shè)函數(shù)P（m，n²），m∈N^*，n∈N^*，可定m²+m+11=n²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的對(duì)稱軸方程為$x=-\frac{1}{2}$，
∴b=1．…（2分）
又∵二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過點(diǎn)（1，13），
∴1+b+c=13，
∴c=11，
∴f（x）=x²+x+11…（4分）
（2）由（1）得$g（x）=（{x-2}）•|x|=\left\{\begin{array}{l}{（{x-1}）^2}-1，（{x≥0}）\\-{（{x-1}）^2}+1，（{x＜0}）\end{array}\right.$．…（6分）
畫出函數(shù)圖象，如圖：
；
結(jié)合圖象可知當(dāng)1≤t＜2時(shí)，$g{（x）_{min}}={t^2}-2t$；…（7分）
當(dāng)$1-\sqrt{2}≤t＜1$時(shí)，g（x）_min=-1；…（8分）
當(dāng)$t＜1-\sqrt{2}$時(shí)，$g{（x）_{min}}=-{t^2}+2t$．…（9分）
綜上所述$H（t）=\left\{\begin{array}{l}-{t^2}-2t，1≤t＜2\\-1，1-\sqrt{2}≤t＜1\\-{t^2}+2t，t＜1-\sqrt{2}\end{array}\right.$．…（10分）
（3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，
設(shè)函數(shù)P（m，n²），m∈N^*，n∈N^*，∴m²+m+11=n²．…（11分）
∵m（m+1）=n²-11＞0，
∴由m（m+1）為偶數(shù)，有n為奇數(shù)，且n≥4，
∴n=5，7，9，11．
驗(yàn)證∴n=11，m=10，
∴存在點(diǎn)（10，121）…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式以及求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值情況，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)來解答，是易錯(cuò)題．