Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點（是自然對數(shù)的底數(shù)）？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或；

（Ⅱ）存在，的范圍為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）在上是單調(diào)函數(shù)，那么它導(dǎo)函數(shù)在恒成立；

（Ⅱ）零點的問題一般都求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間結(jié)合函數(shù)的圖象來解決.在本題中，直接研究的圖象是比較麻煩的，故考慮轉(zhuǎn)化一下.

在區(qū)間()內(nèi)有兩個不同的零點,等價于方程在區(qū)間()內(nèi)有兩個不同的實根.故轉(zhuǎn)化為研究 的圖象.通過求導(dǎo)畫出的簡圖，結(jié)合圖象可得：

為滿足題意，只需在()內(nèi)有兩個不相等的零點, 故

解此不等式即可

試題解析：解：（1）當(dāng)時，在上是單調(diào)增函數(shù)，符合題意．

當(dāng)時，的對稱軸方程為，

由于在上是單調(diào)函數(shù)，所以，解得或，

綜上，的取值范圍是，或．                                    4分

（2），

因在區(qū)間()內(nèi)有兩個不同的零點,所以，

即方程在區(qū)間()內(nèi)有兩個不同的實根.                5分

設(shè) ，   

           7分

令，因為為正數(shù)，解得或（舍） 

當(dāng)時, ,  是減函數(shù)；  

當(dāng)時, ，是增函數(shù).                          8分

為滿足題意，只需在()內(nèi)有兩個不相等的零點, 故

 

解得                                              12分

考點：1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2、函數(shù)的零點；3、不等式的解法