Question

（30分）如圖，已知拋物線C：，F(xiàn)為C的焦點，l為準線，且l交x軸于E點，過點F任意作一條直線交拋物線C于A、B兩點。

（1）若，求證：；

（2）設M為線段AB的中點，P為奇素數(shù)，且點M到x軸的距離和點M到準線l的距離均為非零整數(shù)，求證：點M到坐標原點O的距離不可能是整數(shù)。

Answer 1

解析：（1）方法1：點F的坐標為（p，0），設直線l的方程為

得  ①

設，則y₁、y₂是方程①的兩個根，有

由

因為，

又

所以

故   …………10分

方法2：如圖，設點A、B在準線l上的射影分別為A′、B′，

則|AF|=|A′A|，|BF|=|B′B|。從而，由

因為

又

故 …………10分

（2）設M（x，y），依題意x、y均為非零整數(shù)，由對稱性，不防設x，y，則

 ②

因為點M在直線AB上，所以x=my+p  ③

由②、③消去m，得   ④

假設|OM|=r為正整數(shù)，則   ⑤

因為p為奇質(zhì)數(shù)，所以由④知，p|y，從而p|x。

于是，由⑤知p|r。

令，則有

。

消去y₁，得

即

又有相同的奇偶性，且

所以

從而y₁=0，于是y=-0，這與y為正整數(shù)矛盾。

故點M到坐標頂點O的距離不可能是整數(shù)。