Question

1．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞3）的兩個焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．其離心率為$\frac{4}{5}$．橢圓上點(diǎn)M到F₁的距離為2．點(diǎn)N是MF₁的中點(diǎn)．O是橢圓的中心．求線段ON的長度．

Answer 1

分析 根據(jù)體積求出a，利用橢圓的定義得|MF₂|=10-2=8，ON是△MF₁F₂的中位線，由此能求出|ON|的值．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞3）的兩個焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．其離心率為$\frac{4}{5}$．
b=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，a²=9+c²，解得a=5，c=4，
橢圓的長軸長為2×5=10，
∴|MF₂|=10-2=8，
ON是△MF₁F₂的中位線，
∴|ON|=$\frac{\left|{MF}_{2}\right|}{2}$=4，
線段ON的長度為：4．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、三角形的中位線，考查基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用，作出草圖數(shù)形結(jié)合效果更好．