Question

(1)橢圓C:+=1(a＞b＞0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,求證:AN·BM為定值b²-a².

(2)由(1)類比可得如下真命題:雙曲線C:-=1(a＞0,b＞0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N,求證:AN·BM為定值.請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值(不要求給出解題過(guò)程).

Answer 1

(1)證明:設(shè)點(diǎn)P(x₀,y₀),x₀≠±a.依題意,得A(-a,0),B(a,0),

∴直線PA的方程為y=(x+a).

令x=0,得y_m=,4分同理得y_n=,

∴y_my_n=.∵點(diǎn)P(x₀,y₀)是橢圓C上一點(diǎn),∴=1.∴y₀²=(a²-x₀²).

∴y_my_n==b².8分∵=(a,y_n),=(-a,y_m),∴·=-a²+y_my_n=b²-a².10分

(2)-(a²+b²).