Question

（本小題滿分10分）已知是曲線：的兩條切線，其中是切點，

（I）求證：三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（II）若直線過曲線的焦點，求面積的最小值；

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）面積的最小值為 。

【解析】(I) 設(shè)、,,再利用導(dǎo)數(shù)求出切線MA、MB的方程.然后兩方程聯(lián)立解出交點M的橫坐標(biāo)為即可.

(II) 焦點的坐標(biāo)為（0，1），顯然直線的斜率是存在的；

設(shè)直線的方程為它與拋物線方程聯(lián)立,消y后得關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)弦長公式得和點到直線的距離公式得到面積S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式,然后再利用函數(shù)求最值的方法求最值.

（1）證明：，設(shè)、；

直線的方程為 ①    直線的方程為  ②

①-②得：點的橫坐標(biāo)，所以 點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；…4分

（2）焦點的坐標(biāo)為（0，1），顯然直線的斜率是存在的；

設(shè)直線的方程為

將直線的方程代入得：  （恒成立）

，且   又由①②得：

，從而點到直線的距離，      …8分

      當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；

故面積的最小值為                 …10分