Question

在四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形． (1) 求證：BC⊥AD； (2) 若點(diǎn)D到平面ABC的距離等于3，求二面角A－BC－D的正弦值； (3) 設(shè)二面角A－BC－D的大小為,猜想為何值時(shí)，四面體ABCD的體積最大．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：取中點(diǎn)，連結(jié)、． 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0485/0017/1a05100baba8dba7f5f878531252250b/C/Image102.gif" width=45 height=18>、都是邊長(zhǎng)為 4的正三角形， 所以，， 且． 所以平面， 又平面． 所以．－－－－－－－－5分
(2)	解：由(Ⅰ)知為二面角－－的平面角， 設(shè)＝，則過點(diǎn)作，垂足為 平面，且平面， ∴平面平面，又平面平面＝ ∴平面， ∴線段的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離，即 又 在中，， 故二面角－－的正弦值為．－－－－－－－－－－－－－10分
(3)	解：當(dāng)時(shí)，四面體ABCD的體積最大．－－－－－－－－－－－－－13分