Question

設(shè)函數(shù)，若在點(diǎn)處的切線斜率為．

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，

（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）對(duì)任意的，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義“曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處切線的斜率”來求；(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求最值.

試題解析：（Ⅰ），依題意有：； 

（Ⅱ）恒成立．

（�。�恒成立，即．  

方法一：恒成立，則．

當(dāng)時(shí)，

,

則，，單調(diào)遞增，

當(dāng)，， 單調(diào)遞減，

則，符合題意，即恒成立．

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為．    

方法二：，

①當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減，當(dāng)，， 單調(diào)遞增，則，不符題意；

②當(dāng)時(shí)，

，

（1）若，，，，單調(diào)遞減；當(dāng)，， 單調(diào)遞增，則，不符題意；

（2）若，

若，，，，單調(diào)遞減，

這時(shí)，不符題意；

若，，，，單調(diào)遞減，這時(shí)，不符題意；

若，，，，單調(diào)遞增；當(dāng)，， 單調(diào)遞減，則，符合題意；

綜上，得恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

方法三：易證

∵，∴，

當(dāng)，即時(shí)，，即恒成立；

當(dāng)時(shí)，，不符題意．

綜上，得恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

令，考慮函數(shù)

，

下證明，即證：，即證明

，

由，即證，

又，只需證，

即證，顯然成立．

即在單調(diào)遞增，，

則，得成立，

則對(duì)任意的，成立．

方法二：由（ⅰ）知，恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

 

令，則

，

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

依題意，，

∴，

∴，即對(duì)任意的，成立．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，不等式證明等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生的綜合處理能力.