Question

如圖，已知橢圓：

x2

25

+

y2

9

=1，過點(diǎn)F（4，0）作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．
（1）線段MN是否恒過一個(gè)定點(diǎn)？如果經(jīng)過定點(diǎn)，試求出它的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過定點(diǎn)，試說明理由；
（2）求分別以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線AB的方程，代入橢圓方程消去x，設(shè)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理可求得y₁+y₂的表達(dá)式，根據(jù)直線方程可求得x₁+x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)AB⊥CD，將t換成-

1

t

，即可求得N的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得MN的直線方程，把y=0代入直線方程求得x=

50

17

進(jìn)而可推斷出直線MN橫過(

50

17

，0)．
（2）根據(jù)（1）可表示出以AB為直徑的圓的方程，進(jìn)而依據(jù)AB⊥CD，將t換成-

1

t

，即可表示出直線CD的方程，兩方程相減即可求得公共弦所在的方程，與直線MN方程聯(lián)解消去t-

1

t

即可求得x和y的關(guān)系是，即以AB，CD為直徑的兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的方程為：x=ty+4，代入

x2

25

+

y2

9

=1并整理得：
（9t²+25）y²+72ty-81=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有：y1+y2=-

72t

9t2+25

，x1+x2=t(y1+y2)+8=

200

9t2+25

，
所以點(diǎn)M(

100

9t2+25

，

36t

9t2+25

)
∵AB⊥CD，
∴將t換成-

1

t

，即得：N(

100t2

9+25t2

，

36t

9+25t2

).
由兩點(diǎn)式得直線MN的方程為x-

25

34

(t-

1

t

)y=

50

17

.
當(dāng)y=0時(shí)，x=

50

17

，所以直線MN恒過定點(diǎn)(

50

17

，0)．
（2）以弦AB為直徑的圓M的方程為：x2+y2-

200

9t2+25

x+

72t

9t2+25

y+

319-225t2

9t2+25

=0①
又∵AB⊥CD，
∴將t換成-

1

t

，即得以弦CD為直徑的圓N的方程為：x2+y2-

200t2

9+25t2

x-

72t

9+25t2

y+

319t2-225

9+25t2

=0.②
①-②得兩圓公共弦所在直線方程為：25x+

17

t- 1 t

-118=0.③
又直線MN的方程為：x-

25

34

(t-

1

t

)y=

50

17

.④
聯(lián)解③④，消去t-

1

t

，得兩圓公共弦中點(diǎn)的軌跡方程為：(x-

50

17

)(x-

118

25

)+y2=0．
其軌跡是過定點(diǎn)(

50

17

，0)的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了考生分析推理和基本的運(yùn)算能力．