Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點P為DD1的中點．
（1）求證：直線BD1∥平面PAC；
（2）求證：直線PB1⊥平面PAC．
（3）求三棱錐B﹣PAC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)AC和BD交于點O，連PO，

由P，O分別是DD1，BD的中點，故PO∥BD1，

所以直線BD1∥平面PAC

（2）證明：PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形．

所以PB1⊥PC，

同理PB1⊥PA，所以直線PB1⊥平面PAC

（3）解：因為P為中點，所以PD=1，易知△ABC為直角三角形，且AB=BC=1，

所以

【解析】（1）直接利用三角形的中位線，得到線線平行，進一步利用線面平行的判定定理得到結(jié)論．（2）利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理和勾股定理得逆定理得到線線垂直，進一步利用線面垂直的判定得到結(jié)論．（3）利用等體積法，求三棱錐B﹣PAC的體積．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．