Question

在△ABC中，給出如下命題：
①若，則△ABC為銳角三角形；
②O是△ABC所在平面內(nèi)一定點，且滿足，則O是△ABC的垂心；
③O是△ABC所在平面內(nèi)一定點，動點P滿足，則動點P一定過△ABC的重心；
④O是△ABC內(nèi)一定點，且，則；
⑤若，且，則△ABC為等腰直角三角形．
其中正確的命題為    （將所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

【答案】分析：①由數(shù)量積可以判斷三角形的內(nèi)角關(guān)系．②將向量進行化簡，得到向量垂直關(guān)系．③將向量進行化簡，得到向量共線關(guān)系．④將向量進行化簡，得到向量共線關(guān)系，根據(jù)共線關(guān)系確定，O為重心．⑤利用平面向量的數(shù)量積公式，可推出向量垂直，進而判斷三角形的邊角關(guān)系．
解答：解：①若，則得出角A為銳角，但無法判斷B，C都是銳角，所以①錯誤．
②由，得，即，所以．同理可知，所以O(shè)是△ABC的垂心，所以②正確．
③由動點P滿足，
得，即P的軌跡是直線AD，而AE是△ABC的中線，
因此P的軌跡（即直線AD）過△ABC的重心．所以③正確．
④由，得在三角形ABC中，E是邊BC的中點，則，即O是三角形ABC的重心，所以，所以，所以④正確．
⑤由，可知角A的角平分線垂直于BC，所以AB=AC．由，可得，解得
A=，所以△ABC為等邊三角形，所以⑤錯誤．所以正確的命題為②③④．
故答案為：②③④．
點評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，在做的過程中要利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．