Question

設(shè)a_n=1+++…+(n∈N^*),是否存在關(guān)于n的整式g(n），使等式a₁+a₂+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)對(duì)一切大于1的正整數(shù)n都成立？若存在，求出g(n);若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：假設(shè)g(n)存在

當(dāng)n=2時(shí)，由a₁=g(2)(a₂-1)即

1=g(2)×(1+-1),解得g(2)=2.

當(dāng)n=3時(shí)，由a₁+a₂=g(3)(a₃-1)即1+(1+)=g(3)×(1++-1),得g(3)=3.

當(dāng)n=4時(shí)，同樣可得g(4)=4.

由此猜想g(n)=n.(n≥2,n∈N^*)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)n≥2,n∈N^*時(shí)，等式a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=n(a_n-1)恒成立.

當(dāng)n=2時(shí)，a₁=1,g(2)(a₂-1)=2×=1,結(jié)論成立.

假設(shè)n=k.(k≥2)時(shí)結(jié)論成立，則

a₁+a₂+a₃+…+a_k-1+a_k=k(a_k-1)+a_k=(k+1)·a_k-(k+1)+1

=(k+1)(a_k+-1)=(k+1)(a_k+1-1)

∴n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

綜上可知，對(duì)于大于1的正整數(shù)n,存在g(n)=n,使a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)恒成立.