Question

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點。

（I）點在線段上，，試確定的值，使平面；

（II）在（I）的條件下，若平面平面ABCD，求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時，（2）60°

【解析】 立體幾何用向量做比較簡單，當(dāng)證明平面，

只需證明PA與平面的法向量垂直且PA不在面內(nèi)即可；

二面角的大小，用向量需求得兩個面各自的法向量，

然后求兩個法向量的夾角。

解： （1）當(dāng)時，平面

下面證明：若平面，連交于

由可得，，

．．．．．．．．．２分

平面，平面，平面平面，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

   即：   ．．．６分

（2）由PA=PD=AD=2， Q為AD的中點，則PQ⊥AD。．７分

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，連BD，

四邊形ABCD為菱形， 

∵AD=AB，  ∠BAD=60°△ABD為正三角形，

Q為AD中點， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分

以Q為坐標(biāo)原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為

軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為

A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）

設(shè)平面MQB的法向量為，可得，

取z=1，解得．．．．．．．．．．．１０分

取平面ABCD的法向量設(shè)所求二面角為，

則    故二面角的大小為60°