Question

（2013•南通三模）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₂-a₁=1．當a₃取最小值時，數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

2^n-1

．

Answer 1

分析：設出等比數(shù)列的公比，代入a₂-a₁=1后求出首項和公比的關系，把a₃用公比表示，利用二次函數(shù)求最值求出使a₃最小的q的值，則通項公式可求．

解答：解：設等比數(shù)列的公比為q（q＞0），由a₂-a₁=1，得a₁（q-1）=1，
所以a1=

1

q-1

．
a3=a1q2=

q2

q-1

=

1

- 1 q2 + 1 q

（q＞0），
而-

1

q2

+

1

q

=-(

1

q

-

1

2

)2+

1

4

，當q=2時有最大值

1

4

，
所以當q=2時a₃有最小值4．
此時a1=

1

q-1

=

1

2-1

=1．
所以數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1．
故答案為2^n-1．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了利用配方法求二次函數(shù)的最值，是基礎題．