Question

6．已知F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，G、H是拋物線上的兩點(diǎn)，|GF|+|HF|=3，線段GF的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為$\frac{5}{4}$．
（1）求拋物線的方程；
（2）如果過(guò)點(diǎn)P（m，0）可以作一條直線l，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交圓（x-6）²+y²=4于C、D（自上而下依次為B、D、C、A），且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線定義知：$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，得p=$\frac{1}{2}$，即可求出拋物線的方程；
（2）由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$得$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$-$\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{BD}$，可得x₁+x₂=x₄+x₃，分類討論，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由拋物線定義知：$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，得p=$\frac{1}{2}$…（2分）
故拋物線的方程為y²=x…（3分）
（2）由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$
得$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$-$\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{BD}$…（4分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則$\overrightarrow{CA}$=（x₁-x₃，y₁-y₃），$\overrightarrow{BD}$=（x₄-x₂，y₄-y₂），
所以x₁-x₃=x₄-x₂，即x₁+x₂=x₄+x₃…（5分）
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=m，此時(shí)只需點(diǎn)P（m，0）在圓內(nèi)即可，
故（m-6）²＜4，解得4＜m＜8…（6分）
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=k（x-m）（且m≠0）
代入拋物線方程得：k²x²-（2mk²+1）x+m²k²=0…（7分）
因?yàn)橹本�l與拋物線于A、B兩點(diǎn)，所以△₁=4mk²+1＞0…①…（8分）
x₁+x₂=$\frac{2m{k}^{2}}{{k}^{2}}$
代入圓方程得：（1+k²）x²-2（mk²+6）x+m²k²+32=0
因?yàn)橹本�l與圓于C，D兩點(diǎn)，所以△₂＞0，即k²（m-6）²＜4（1+k²）…②…（9分）
x₃+x₄=$\frac{2m{k}^{2}+12}{1+{k}^{2}}$
因?yàn)閤₁+x₂=x₄+x₃，所以$\frac{2m{k}^{2}}{{k}^{2}}$=$\frac{2m{k}^{2}+12}{1+{k}^{2}}$，化簡(jiǎn)得k²=$\frac{1}{11-2m}$…（10分）
代入①②得，解得-2＜m＜$\frac{11}{2}$…（11分）
綜合得實(shí)數(shù)m取值范圍為（-2，$\frac{11}{2}$）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．