Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≤x．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負確定f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）對不等式恒成立問題，將其轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答 解：（1）∵f（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$．
∴f′（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）的遞增區(qū)間是R．
（2）令h（x）=f（x）-x，
當(dāng)x≥0時，h′（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-1≤0恒成立，
∴h（x）在x≥0時，單調(diào)遞減，
h（x）_max=h（0）=0，
∴當(dāng)x≥0時，h（x）≤0，
即f（x）≤x恒成立．

點評 本題考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性，以及對不等式的處理．