Question

已知t＞0，關(guān)于x的方程|x|+

t-x2

=

2

，則這個方程有相異實根的個數(shù)情況是

0或2或3或4

．

Answer 1

分析：因為關(guān)于x的方程|x|+

t-x2

=

2

等號兩邊均為正數(shù)，所以方程等價于方程|x|-

2

=-

t-x2

，再轉(zhuǎn)化為C1：y=|x|-

2

，C2：y=-

t-x2

的圖象的交點問題，可通過在同一坐標系中做出函數(shù)C1：y=|x|-

2

，C2：y=-

t-x2

，的圖象，通過判斷圖象交點個數(shù)來判斷方程的相異實根根數(shù)．

解答：解：令C1：y=|x|-

2

，C2：y=-

t-x2

，
由于y=|x|-

2

=

x- 2 ，x≥0 -x- 2，x＜0

，
方程y=-

t-x2

平方得：x²+y²=t，（y≤0），
畫出它們的圖象，如圖所示，一個是折線，一個是半個圓．
當圓心（0，0）到直線y=x-

2

的距離等于半徑時，
即

|- 2 |

2

=1=

t

時，t=1；
當圓經(jīng)過點（0，-

2

）時，0²+（-

2

）²=t，⇒t=2．
利用數(shù)形結(jié)合知：當0＜t＜1或t＞2時，方程無實數(shù)根；
當t=1時，方程有2個實數(shù)根；
當t=2時，方程有3個實數(shù)根；
當1＜t＜2時，方程有4個實數(shù)根．
綜合，則這個方程有相異實根的個數(shù)情況是 2或3或4．
故答案為：0或2或3或4．

點評：本題主要考查圖象法判斷方程的實根個數(shù)，關(guān)鍵是畫出兩個函數(shù)的圖象．