Question

（本題滿分16分，其中第1小題3分，第2小題6分，第3小題7分）

設(shè)為非零實數(shù)，偶函數(shù)，.

（1） 求實數(shù)的值；

（2） 試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；

（3） 若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，試求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（本題滿分16分，理科：第1小題9分，第2小題7分；文科：第1小題3分，第2小題6分，第3小題7分）

（理科）解：（1）設(shè)BC的中點為D，連結(jié)AD、DM，則有

 

于是，可知即為AM與側(cè)面BCC₁所成角.

因為，點到平面的距離為，不妨設(shè)，.

在Rt△ADM中，.

由,,故.

而當時，，

即

，

所以，點到平面的距離的取值范圍是.

（2）解法一：當時，由（1）可知,

故可得,.

    設(shè)向量與的夾角為，因為

   

        .

    所以，

故向量與夾角的大小為.

解法二：如圖，以中點O為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在直線為軸（其中點為中點），建立空間直角坐標系.

由（1）可知，當時，.

所以有，，，

,，即，.

設(shè)向量與夾角為，則

故向量與夾角的大小為.

解法三：如圖，過點作//，交于.

聯(lián)結(jié).因為是正三棱柱，故可得.

    當時，由（1）可知,

故可得.

在等腰三角形中，不難求得

，即異面直線與所成角為，

而圖中不難發(fā)現(xiàn)，與夾角的大小為異面直線與所成角的補角，即

與夾角的大小為.

與夾角的大小為.