Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設(shè)不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)n∈N^*，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，求出極值點為x=0，f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則當(dāng)x=0時，f（x）取得最小值
（2）由{x|0≤x≤2}⊆P可知將題目轉(zhuǎn)化成f（x）＞ax在（0，2）上恒成立，利用參數(shù)分離法變形為，求出的最小值即可
（3）由（Ⅰ）得，對于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令便可得到不等關(guān)系，將n項求和可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=e^x-1．
令f'（x）＞0，解得x＞0；令f'（x）＜0，解得x＜0．
從而f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=0時，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）解：因為不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以對于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立．
由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x．
當(dāng)x=0時，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈（0，2]的情況．
將（a+1）x＜e^x變形為，
令，則g（x）的導(dǎo)數(shù)，
令g'（x）＞0，解得x＞1；令g'（x）＜0，解得x＜1．
從而g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增．
當(dāng)x=1時，g（x）取得最小值e-1，
實數(shù)a的取值范圍是（-∞，e-1）．
（Ⅲ）證明：
由（Ⅰ）得，對于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
令，則．∴（i=1，2，，n-1），
即（i=1，2，，n-1）．∴．∵，∴．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的最值問題，恒成立問題的轉(zhuǎn)化，以及不等式的證明．