Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn).

（1）求拋物線的準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，且與的交點(diǎn)在拋物線上，求直線的斜率和點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）直線的斜率為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【解析】

（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得，則拋物線方程和準(zhǔn)線方程得解；

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，即可求得經(jīng)過的一點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，即可容易求得斜率以及點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為，

直線的一般方程為，

所以，解得.

拋物線的準(zhǔn)線方程為.

（2）聯(lián)立，解得.

設(shè)直線的方程為，將它代入，得.

設(shè)，則，，

所以，

解得，又直線過點(diǎn)，所以，解得，

所以直線的方程，也即，

所以直線的斜率為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.