Question

4．設(shè)函數(shù)y=x•f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，則不等式f（${\sqrt{x+1}}$）＞$\sqrt{x-1}$•f（${\sqrt{{x^2}-1}}$）的解集為[1，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行變形即可得到結(jié)論．

解答 解：不等式f（${\sqrt{x+1}}$）＞$\sqrt{x-1}$•f（${\sqrt{{x^2}-1}}$）等價(jià)為：
${\sqrt{x+1}}$•f（${\sqrt{x+1}}$）＞$\sqrt{x-1}$•${\sqrt{x+1}}$•f（${\sqrt{{x^2}-1}}$），
即${\sqrt{x+1}}$•f（${\sqrt{x+1}}$）＞${\sqrt{{x^2}-1}}$•f（${\sqrt{{x^2}-1}}$），
設(shè)g（x）=x•f（x），
則g（${\sqrt{x+1}}$）＞g（${\sqrt{{x^2}-1}}$），
∵函數(shù)y=x•f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴不等式等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{x-1≥0}\\{x^2-1≥0}\\{\sqrt{x+1}＞\sqrt{{x}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x≥1}\\{x≥1或x≤-1}\\{x+1＞{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x^2-x-2＜0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，
解得1≤x＜2，
故不等式的解集為[1，2），
故答案為：[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．