Question

已知α，β為銳角，tanα=

1

7

，sinβ=

10

10

，求α+2β．

Answer 1

分析：根據(jù)β為銳角，由sinβ的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosβ，即可求出tanβ的值，然后利用二倍角正切函數(shù)公式求出tan2β的值，且根據(jù)求出的tan2β的值判斷出2β的范圍，由tanα的值判斷出α的范圍，即可得到α+2β的范圍，利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡后，把tanα和tan2β的值代入即可求出tan（α+2β）值，然后根據(jù)α+2β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+2β的值．

解答：解：因為β為銳角，sinβ=

10

10

，所以cosβ=

3 10

10

，則tanβ=

1

3

，
而tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

＜1，得到0＜2β＜

π

4

，且tanα=

1

7

＜

3

3

，得到0＜α＜

π

6

，
則tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1，
由α，β為銳角，得到α+2β∈（0，

5π

12

），所以α+2β=

π

4

．

點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、二倍角的正切函數(shù)公式及兩角和的正切函數(shù)公式化簡求值，是一道綜合題．學生做題時應(yīng)注意角度的范圍．