Question

在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，平面底面．

（I） 證明：平面；

（II）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（I）見(jiàn)解析；（II）．

【解析】

試題分析：（I）因?yàn)槠矫鎂AD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，又AB在平面ABCD內(nèi)，AD⊥AB，

所以AB⊥平面VAD；（II）法一：先做出所求二面角的平面角，再由余弦定理求平面角的余弦值，既得所求；法二：設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連結(jié)VO，則VO⊥底面ABCD，又設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，分別求平面VAD的法向量和平面VDB的法向量，可得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鎂AD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，又AB在平面ABCD內(nèi)，AD⊥AB，

所以AB⊥平面VAD．    3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依題意設(shè)AB=AD=AV=1，所以BV=BD=． 6分

設(shè)VD的中點(diǎn)為E,連結(jié)AE、BE，則AE⊥VD，BE⊥VD，

所以∠AEB是面VDA與面VDB所成二面角的平面角．      9分

又AE=，BE=，所以cos∠AEB==．

             12分

（方法二）

（Ⅰ）同方法一．    3分

（Ⅱ）設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連結(jié)VO，則VO⊥底面ABCD．

又設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．    4分

則，A（，0，0），    B（，1，0），

D（ ，0，0），   V（0，0，）；

    7分

由（Ⅰ）知是平面VAD的法向量．設(shè)是平面VDB的法向量，則

    10分

∴，

考點(diǎn)：1、面面垂直的性質(zhì)；2、二面角的求法．