Question

14．若函數y=2^-|x|-k有零點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． k∈[-1，0）
• B． k∈[0，1]
• C． k∈（0，1]
• D． k∈[0，+∞）

Answer 1

分析 令y=0可得k=2^-|x|，故k的范圍就是函數f（x）=2^-|x|的值域．

解答 解：令f（x）=2^-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≥0}\\{{2}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，
∴f（x）的最大值為f（0）=1，又根據指數函數的性質可得f（x）＞0，
∴f（x）的值域為（0，1]，
∵函數y=2^-|x|-k有零點，解f（x）=k有解，
∴k的范圍是（0，1]．
故選C．

點評 本題考查了函數零點與函數單調性、函數最值的關系，屬于基礎題．