Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+b}{1+{x}^{2}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，求出b，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）f（2x-1）+f（x）＜0可化為-1＜2x-1＜-x＜1，即可解不等式 f（2x-1）+f（x）＜0．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x+b}{1+{x}^{2}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，
則△y=f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$-$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{（{x}_{1}-x}_{2}）（{{{x}_{1}x}_{2}-1）}^{\;}}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$，
∵0≤x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x）在[0，1）上是增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）f（2x-1）+f（x）＜0可化為-1＜2x-1＜-x＜1，
解得：0＜x＜$\frac{1}{3}$
∴不等式的解集為{x|0＜x＜$\frac{1}{3}$}．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查解不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．