Question

已知方程x²+（k-2）x+k²+1=0，求使方程有兩個大于1的根的充要條件．

Answer 1

分析：先寫出使兩根都大于1的充要條件是

(k-2)2-4(k2+1)≥0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0

；再結(jié)合韋達定理解不等式即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，則使兩根都大于1的充要條件是：

(k-2)2-4(k2+1)≥0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0

即

- 4 3 ≤ k≤0 (x1+x2)-2＞0 x1x2-(x1+x2)+1＞0

                 …（6分）
由韋達定理，得

- 4 3 ≤k≤0 k＜0 k＜-1或k＞0

  解得 -

4

3

≤k＜-1…（10分）
所以方程x²+（k-2）x+k²+1=0有兩個大于1的根的充要條件為-

4

3

≤k＜-1…（12分）

點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．解決這一類型題目一般都要結(jié)合韋達定理．