Question

【題目】在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點(diǎn)，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.

（1）求異面直線AC與BE所成角的余弦值；

（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，求得向量和向量的坐標(biāo)，再利用線線角的向量方法求解.

（2）分別求得平面BFC1的一個(gè)法向量和平面BCC1的一個(gè)法向量，再利用面面角的向量方法求解.

規(guī)范解答 （1） 因?yàn)?/span>AB＝1，AA1＝2，則F(0，0，0)，A，C，B，E，

所以＝(－1，0，0)，＝

記異面直線AC和BE所成角為α，

則cosα＝|cos〈〉|＝＝，

所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.

（2） 設(shè)平面BFC1的法向量為= (x1，y1，z1)．

因?yàn)?/span>＝，＝，

則

取x1＝4，得平面BFC1的一個(gè)法向量為＝(4，0，1)．

設(shè)平面BCC1的法向量為＝(x2，y2，z2)．

因?yàn)?/span>＝，＝(0，0，2)，

則

取x2＝ 得平面BCC1的一個(gè)法向量為＝(，－1，0)，

所以cos〈〉＝ =

根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角，

所以二面角F-BC1-C的余弦值為.