Question

（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過點(diǎn)和點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)在橢圓上，為橢圓的左焦點(diǎn)，直線的方程為.

（i）求證：直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)；

（ii）若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，探索：當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線是否過定點(diǎn)?

若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，將和點(diǎn)分別代入橢圓方程，即可得到關(guān)于，的方程組：，，從而可以解得，，即橢圓的方程為；（2）（ii）分析題意可知，要證直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于將直線方程與橢圓方程聯(lián)立所得的方程組只有唯一的解，因此考慮將方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)變形可得，易知其，從而得證；（ii）由題意可知為線段的中垂線，因此利用線段與直線垂直以及線段的中點(diǎn)在直線上可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，以下需分類討論列出直線的解析式：當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的方程為，即，直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線過點(diǎn)，即可證明直線恒過定點(diǎn).

試題解析：（1）∵，且，∴，，∴橢圓的方程為.

（2）（i）聯(lián)立方程組，整理為…①，

∵在橢圓上，∴，即，∴方程①為，即，∴直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)； （ii）∵，∴過點(diǎn)且與垂直的直線方程為，

∵聯(lián)立方程組，∴，∵，且，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，

∵直線的方程為，即，∴直線過定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線過點(diǎn)，綜上所述，直線過定點(diǎn)．

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.直線中的對(duì)稱問題.