Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為.若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且，則稱該三角形為“向心三角形”.

（1）是否存在“向心三角形”，其中兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和？說明理由；

（2）設(shè)“向心三角形”的一邊所在直線的斜率為，求直線的方程；

（3）已知三角形是“向心三角形”，證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由詳見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由題意可知，點(diǎn)為的重心，假設(shè)存在一點(diǎn)使得“向心三角形”存在，求得該點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的方程，進(jìn)行判斷即可；

（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用點(diǎn)差法求得，根據(jù)重心的坐標(biāo)公式，求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)斜式方程可得出直線的方程；

（3）由，等式兩邊平方，利用基本不等式可得出，結(jié)合等式可求出，進(jìn)而證明結(jié)論成立.

（1）由題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由，可知，為重心，

設(shè)存在點(diǎn)“向心三角形”，其中兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，另外的頂點(diǎn)為，

由，解得：，顯然，

故不存在“向心三角形”，其中兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和；

（2）設(shè)、、，

由，兩式相減，得，所以，所以，

由題意可知，，所以，則，

由，所以，所以，線段的中點(diǎn)，

因此，直線的方程為，整理得.

因此，直線的方程；

（3）由（2）可知，則，①

由，，

平方可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然，

所以，即，

將①代入可得，解得，

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于.